圆分割2n+1点问题(已答)

问题:平面上有2n+1个点,他们任三点不共线。是否可以做出这样一个圆,使得有且仅有1个点在圆上,且恰有n个点在圆内,n个点在圆外。 ———————————————————————————— 已经有不少朋友和我讨论过这个问题。本打算和下一个贴子一起贴出来,看来已经等不及了。我来说说我的想法。 其实我也一向对这种存在性问题不是很在行,但一直都关注于对数学大方向的掌握和理解,也注重对数学的审美。没想过要当数学家,不过有些数学思维还是可以的。 这个问题就显示出了对数学的理解问题,不需要很深奥的知识,关键在于理解和转化。 如果问题从圆变成直线:是否存在这样一条直线,它恰过1点,且恰有n个点在直线的一侧,n个点在直线的另一侧。很多人的直觉是存在,而且这个直觉对于我来讲比较“显见”。 我们先不考虑这个直觉是否可靠,假定它是可靠的(毕竟我们不是数学家,如果基于一些不太可靠的假设可以得出一些结论的话,也是不错的体验)。 如果关于直线的命题是正确的,那么这个题的解就在于怎么理解直线和圆的区别。在我眼里,他们“几乎”没有什么区别,他们可以“转化”。 如果他们可以转化,那么,直线有解就是圆有解。问题是怎么“转化”。那么请问:可否把直线看成曲率无限大的圆么? 如果可以,那么直线有解,圆亦有解。 虽然我不是数学家,但话说到此也不会令人信服。所以,你可以做出一个曲率相当大或者说非常大的圆(切过“直线”的点),问题就转化了,解决了。(我不会为这个而涉及太多细节,还是那句话,我毕竟不是数学家,我更在乎解决数学题的乐趣,而不是每一个细节) 下一步就是怎么“证明”直线一定存在。如果直线能够被证明,那么此题就被解决了。这也是细节,对于喜爱数学的人来说,不是什么太难的事儿。如果真有需要,我再说也不迟。

2